О разложении 1/(1-z)

Данная тема, на первый взгляд, не заслуживает внимания, так как для многих очевидно, что

\begin{displaymath}
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n = 1+z+z^2+\cdots.
\end{displaymath}

Однако в своей преподавательской практике мне неоднократно приходилось сталкиваться с тем, что ученики часто забывают эту формулу, из которой можно вывести разложения почти все остальных производящих функций. И каждый раз, когда студенты эту формулу забывали снова (или забывали почему формула верна), мне приходилось придумывать новое ей объяснение. Вот эти объяснения было решено собрать воедино. Разумеется, в этих объяснениях упущена полная математическая строгость, а даётся лишь общее представление о том, почему формула именно такая.

Самым сложным для студентов оказывается восприятие этой формулы в рамках имеющихся арифметических стереотипов: они пытаются подставлять вместо z различные числа и получают то верный, то неверный результат. Нужно научиться понимать формулу как чисто формальную символьную конструкцию.

Объяснение №1

Самое простое рекурсивное объяснение:

\begin{displaymath}
A = 1+z+z^2+\cdots = 1 + z ( 1+z+z^2+\cdots ) = 1 + z \cdot A.
\end{displaymath}

Из равенства A=1+zA следует, что (1−z)A=1 и

\begin{displaymath}
A = \frac1{1-z}.
\end{displaymath}

Объяснение №2

Самое простое нерекурсивное объяснение заключается в том, чтобы домножить обе части равенства на 1−z (это можно сделать, так как 1−z≠0):

\begin{displaymath}\displaylines{
(1-z)\frac1{1-z} = (1-z)( 1+z+z^2+\cdots ), \cr
1 = ( 1+z+z^2+\cdots ) - ( z+z^2+z^3+\cdots ) = 1.
}
\end{displaymath}

Последнее тождество означает, что исходное равенство было верным.

Объяснение №3

Можно поделить 1 на 1−z «лесенкой» и получить в точности 1+z+z2+⋅⋅⋅ .

Объяснение №4

Существует известная из школы формула для отыскания суммы геометрической прогрессии:

\begin{displaymath}
b_1\cdot\frac{1-z^n}{1-z},
\end{displaymath}

где b1 — первый член прогрессии, а z — знаменатель прогрессии.

В нашем случае b1=1. Если |z|<1, то очевидно, что

\begin{displaymath}
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}z^k=\lim_{n\to\infty}\frac{1-z^n}{1-z} = \frac1{1-z}.
\end{displaymath}

Объяснение №5

По формуле бинома Ньютона:

\begin{displaymath}
\frac1{1-z}=(1-z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1}{n}(-z)^n.
\end{displaymath}

Известно (см. лекцию «Расширенные биномиальные коэффициенты»), что

\begin{displaymath}
\binom{-n}{k} = (-1)^k\binom{n+k-1}{k},
\end{displaymath}

поэтому

\begin{displaymath}
\binom{-1}{n} = (-1)^n,
\end{displaymath}

откуда

\begin{displaymath}
\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1}{n}(-z)^n =
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(-z)^n=\sum_{n=0}^{\infty}z^n.
\end{displaymath}

Объяснение №6

Любая аналитическая функция f(z) по определению раскладывается в ряд Тейлора (рассмотрим разложение в окрестности нуля):

\begin{displaymath}
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n
\end{displaymath}

Коэффициент при zn равен производной n-го порядка в нуле, поделённой на n!.

Рассмотрим производную порядка n для нашей функции:

\begin{displaymath}
\frac{d^n}{dz^n}\frac{1}{1-z} = \frac{n!}{(1-z)^{n+1}}.
\end{displaymath}

В точке z=0 все производные равны n!, то есть коэффициент при zn равен 1 для любого n≥0.

Объяснение №7

Пусть G(z) генерирует последовательность (an), иными словами,

\begin{displaymath}
(a_0, a_1, a_2, \ldots)
\quad
\leftrightarrow
\quad
G(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots.
\end{displaymath}

Тогда известно, что

\begin{displaymath}
(a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, \ldots)
\quad
\leftrighta...
...\frac{1}{1-z}g(z)=(a_0)+(a_0+a_1)z+(a_0+a_1+a_2)z^2+\cdots,
\end{displaymath}

То есть функция G(z)/(1−z) генерирует последовательность частичных сумм исходной последовательности. По этой причине, из того, что

\begin{displaymath}
(1, 0, 0, \ldots)
\quad
\leftrightarrow
\quad
G(z)=1,
\end{displaymath}

следует, что

\begin{displaymath}
(1, 1, 1, \ldots)
\quad
\leftrightarrow
\quad
\frac1{1-z}g(z)=1+z+z^2+\cdots,
\end{displaymath}

что и требовалось.

Объяснение № ...

Если кто-то знает другие объяснения (не обязательно строгие, но демонстрирующие суть обсуждаемой формулы), предлагайте их по адресу zealint@yandex.ru. Заслуживающие внимания предложения будут опубликованы.