Таблица производящих функций

В таблице указаны основные производящие функции, которые обычно требуются для решения типичных задач. Все суммы выполняются по переменной n от 0 до , если не указано иное. Элементы последовательности нумеруются от 0.

\begin{displaymath}
\begin{tabular}{\vert r\vert l\vert l\vert l\vert}
\hlin...
...$\displaystyle e^z$ \\
& & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{displaymath}

Доказательство

Предлагаемые для рассмотрения производящие функции являются своего рода «азбукой», или, если угодно, «таблицей умножения» для теории производящий функций. Понимание этих производящих функций позволит работать с более сложными выражениями, а знание таблицы ускорит многие устные вычисления.

Первая и вторая производящие функции выводятся непосредственно из определения (см. «Введение»). Третья последовательность подробно разбирается в приложении «О разложении 1/(1−z)».

Производящая функция последовательности №4 получается заменой z на −z в функции для последовательности №3. Аналогично получаются производящие функции для последовательностей №5, №7 и №8: нужно заменить в третьей производящей функии z на zm, 2z и rz соответственно.

Производящая функция последовательности №6 получается путём дифференцирования функции №3:

\begin{displaymath}
\frac{1}{(1-z)^2}=\left(\frac{1}{1-z}\right)'=\left(\sum_{...
...m_{n=1}^{\infty} nz^{n-1}=
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}.
\end{displaymath}

Точно такой же результат получается, если использовать биномиальный ряд (см. «Расширенные биномиальные коэффициенты»):

\begin{displaymath}\displaylines{
\ig{0.3}\frac{1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum_{n...
...{n+1}{n}(-z)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}.\ig{0.3}
}
\end{displaymath}

Совершенно аналогично нужно поступить с производящей функцией последовательностей №10 и №11:

\begin{displaymath}
\frac{1}{(1-z)^m}=(1-z)^{-m}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{m+n-1}{n}z^{n} \quad \mbox{(это \no10)},
\end{displaymath}

если теперь заменить m на m+1 и использовать тот факт, что для целых положительных n справедливо тождество $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, то получим одиннадцатую строку таблицы:

\begin{displaymath}
\frac{1}{(1-z)^{m+1}}=(1-z)^{-m-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{m+n}{n}z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{m+n}{m}z^{n}.
\end{displaymath}

Последовательность №9 и производящая функция для неё следуют из биномиальной теоремы (после замены a на z, а b на 1 ), утверждение которой доказывается в курсе комбинаторики:

\begin{displaymath}
(a+b)^m = \sum_{n=0}^{m}\binom{m}{n} a^nb^{m-n}, \quad m\geq 0, \mbox{ целое}.
\end{displaymath}

Производящая функция для последовательности №12 получается интегрированием производящей функции для последовательности №3 (полагаем, что константа интегрирования равна нулю, чтобы выполнялось a0=0):

\begin{displaymath}
\ln\frac1{1-z}=\int \frac1{1-z} dz=\int\left(\sum_{n=0}^{...
... \frac{z^{n+1}}{n+1}=
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}.
\end{displaymath}

Последовательность №13 получается аналогично, но c дополнительной заменой z на −z и умножением результата на −1.

Разложение в ряд экспоненты (строка №14 таблицы) известно из курса математического анализа. По формуле Тейлора коэффициент при zn равен производной порядка n, вычисленной в нуле, поделённой на n!:

\begin{displaymath}
\frac{1}{n!}\left.\frac{d^n}{dz^n} e^z \right\vert _{z=0} = \frac{1}{n!}.
\end{displaymath}

Причём ряд для экспоненты сходится для любого комплексного z (если, конечно, считать, что z — число).